Question

已知經(jīng)過點(diǎn)（，） 的雙曲線C： （a>0，b>0）的離心率為2。
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在經(jīng)過點(diǎn)（0，-1）的直線l與雙曲線C有兩個不同的交點(diǎn)A、B，且線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、Q，使得四邊形APBQ為菱形？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意有：，且c² =a²+b² 
所以a²=1，b²=3 
雙曲線 的方程為                    
（Ⅱ）①若直線l 的斜率不存在，則直線l 與雙曲線C 沒有交點(diǎn)，故滿足條件的直線 l不存在。
②若直線l 的斜率為0 ，則線段AB 為y 軸平行；不滿足條件，直線l 不存在。
③若直線 l的斜率為± ，則直線l 與雙曲線C 的漸近線平行，故滿足條件的直線 l不存在。
④若直線 l的斜率存在，且不為 0不為± 時設(shè)為k ，則直線l 的方程為y=kx-1
 設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由 得（3-k²）x+2kx-4=0  
△=4k²+16（3-k²）>0-2<k<2
∴x₁+x₂=，y₁+y₂=    
∴線段AB 的中點(diǎn)為（，） 
∴線段AB 的垂直平分線 
∴P（，0）Q（0，）       
∴ 線段PQ 的中點(diǎn)為（，） 
若四邊形APBQ 為菱形，則線段PQ 的中點(diǎn)在直線l 上，所以
 
解得k²=-1 ，這矛盾
綜上，不存在滿足條件的直線