Question

已知經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），且以（λ，1+λ）為方向向量的直線l₁與經(jīng)過點(diǎn)B（2，0），且以（1+λ，-3λ）為方向向量的直線l₂相交于點(diǎn)P，其中λ∈R．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）是否存在直線l：y=kx+m（m≠0）與軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且滿足|BM|=|BN|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）對(duì)λ進(jìn)行討論，即可求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）假設(shè)存在直線l：y=kx+m（m≠0）與軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且滿足|BM|=|BN|，求出線段MN的中點(diǎn)M₀的坐標(biāo)，利用M₀在橢圓C的內(nèi)部，在直線l上，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)λ≠0且λ≠-1時(shí)，直線l₁：y=

1+λ

λ

(x+2)，直線l₂：y=

-3λ

1+λ

(x-2)
消參可得

x2

4

+

y2

12

=1①
當(dāng)λ=0時(shí)，直線l₁：x=-2，直線l₂：y=0，其交點(diǎn)為（-2，0），適合①；
當(dāng)λ=-1時(shí)，直線l₁：y=0，直線l₂：x=2，其交點(diǎn)為（2，0），適合①；
∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

12

=1；
（2）假設(shè)存在直線l：y=kx+m（m≠0）與軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且滿足|BM|=|BN|．
令線段MN的中點(diǎn)M₀（x₀，y₀），則BM₀垂直平分MN
∵

x12

4

+

y12

12

=1，

x22

4

+

y22

12

=1，
∴兩式相減可得，kMN=-

3x0

y0

=k②
∵BM₀⊥MN，∴kBM0=

y0

x0-2

=-

1

k

③
由②③可得x0=-1，y0=

3

k

∴M₀（-1，

3

k

）
∵M(jìn)₀在橢圓C的內(nèi)部，故

1

4

+

9

12k2

＜1
∴|k|＞1
∵M(jìn)₀（-1，

3

k

）在直線l上，
∴

3

k

=-k+m，
∴|m|=|k+

3

k

|≥2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)|k|=

3

時(shí)取等號(hào)
∴存在直線l滿足條件，此時(shí)m的取值范圍為（-∞，-2

3

）∪（2

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查存在性問題的研究，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．