(2013•淄博一模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
3
=1(a>
10
)
的右焦點F在圓D:(x-2)2+y2=1上,直線l:x=my+3(m≠0)交橢圓于M、N兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若
OM
ON
(O為坐標原點),求m的值;
(Ⅲ)若點P的坐標是(4,0),試問△PMN的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.
分析:(I)已知及圓與x軸的交點即可得到橢圓的焦點,進而得到橢圓的標準方程.
(II)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).把直線方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于y的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及
OM
ON
?
OM
ON
=0即可證明;
(III)利用三角形的面積計算公式、根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)即可得出.
解答:解:(I)由圓D:(x-2)2+y2=1上可得:圓心(2,0),半徑r=1.
令y=0得(x-2)2=1,解得x=3或1.
∴橢圓的半焦距c=3或1,但是當(dāng)c=1時,a=
3+1
10
,故舍去.
∴c=3,a2=b2+c2=3+32=12.
故橢圓的方程為
x2
12
+
y2
3
=1

(II)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).
聯(lián)立
x=my+3
x2+4y2=12
化為(m2+4)y2+6my-3=0,
y1+y2=-
6m
m2+4
y1y2=
-3
m2+4

x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=
-3m2
m2+4
+
-18m2
m2+4
+9
=
36-12m2
m2+4

OM
ON
,∴
OM
ON
=0.
∴x1x2+y1y2=0,∴
36-12m2-3
m2+4
=0
,
m2=
11
4
,解得m=±
11
2
為定值.
(III)∵直線l過橢圓的右焦點F(3,0),
∴S△PMN=
1
2
|FP|•|y1-y2|

∵|FP|=4-3=1.
利用(II)可得S△PMN=
1
2
(y1+y2)2-4y1y2
=
1
2
36m2
(m2+4)2
+
12(m2+4)
(m2+4)2

=2
3
m2+1
(m2+4)2
=2
3
1
(m2+1)+
9
m2+1
+6
≤2
3
×
1
12
=1.
當(dāng)且僅當(dāng)m2+1=3,即m=±
2
時等號成立.故△PMN的面積存在最大值1.
點評:本題綜合考查了:橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì),把直線方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于y的一元二次方程得到根與系數(shù)的關(guān)系,
OM
ON
?
OM
ON
=0,三角形的面積計算公式,基本不等式的性質(zhì)等.需要較強的推理能力和計算能力.
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2
=0
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1
2
]
時,f(x)=-x2,則f(3)+f(-
3
2
)
的值等于( 。

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(2013•淄博一模)已知向量
p
m
=(sin(A-B),sin(
π
2
-A)),
p
n
=(1,2sinB),
p
m
p
n
=-sin2C,其中A,B,C分別為△ABC的三邊a,b,c所對的角.
(Ⅰ)求角C的大;
(Ⅱ)若sinA+sinB=2sinC,且S△ABC=
3
,求邊c的長.

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