Question

求函數(shù)y=xlna+a^-x（a＞0，且a≠1）的最值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：求出函數(shù)f（x）的導數(shù)為y′的解析式，對實數(shù)a分類討論后，分別令y′＞0，y′＜0，求得單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解：∵xlna+a^-x（a＞0，且a≠1），
∴f′（x）=lna-a^-xlna=（1-a^-x）lna，
當a＞1時，lna＞0，
令f′（x）＞0，即1-a^-x＞0，解得x＞0，
令f′（x）＜0，即1-a^-x＜0，解得x＜0；
當0＜a＜1時，lna＜0，
令f′（x）＞0，即1-a^-x＜0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即1-a^-x＞0，解得x＜0；
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
即當x=0時，函數(shù)f（x）取得極小值，同時也是最小值f（0）=1，函數(shù)無最大值．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．數(shù)形結(jié)合的思想，綜合性強．