Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-．
（I）求實數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）設g（x）=，對?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求正實數(shù)k的取值范圍；
（III）證明：++…+＜（n∈N^*，n≥2）•

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
由已知得：f′（x）=-a，f′（2）=-a=-，解得a=1．
于是f′（x）=-1=，當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f （x）為增函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
即f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，?x₁∈（0，+∞），f （x₁）≤f （1）=0，即f （x₁）的最大值為0，
由題意知：對?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f （x₁）≤g（x₂）成立，
只須f （x）_max≤g（x）_max．
∵g（x）==x++2k=-（-x+）+2k≤-2+2k，∴只須-2≥0，解得k≥1．
故k的取值范圍[1，+∞）．
（Ⅲ）要證明：++…+＜（n∈N^*，n≥2）•
只須證，
即證，
由（Ⅰ）知，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
∴f （x）=lnx-x+1≤f（1）=0，即lnx≤x-1，
∴當n≥2時，lnn²＜n²-1，
1-=1-，
（1-+）+（1-+）+…+（1-）
=n-1-+=，
∴++…+＜．
分析：（Ⅰ）由f′（2）=-可求得a值，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）該問題可轉(zhuǎn)化為解不等式f（x）_max＜g（x）_max，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．
（Ⅲ）要證明++…+＜（n∈N^*，n≥2），只須證，即證，由f（x）的最大值得到一不等式，以此對該不等式左邊各項進行放縮求和即可．
點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間、求最值、證明不等式，考查了分析問題解決問題的能力，本題運用了轉(zhuǎn)化思想．