Question

（本小題滿分14分）已知圓：，直線.

（1）若直線l與圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）若，是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)為、，探究：直線是否過(guò)定點(diǎn)；

（3）若、為圓：的兩條相互垂直的弦，垂足為，求四邊形的面積的最大值.

Answer 1

（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）易得點(diǎn)O到l的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出k；（2）利用O、P、C、D四點(diǎn)共圓求得其圓的方程，發(fā)現(xiàn)直線是圓與圓的公共弦所在的直線方程，兩式作差即可；（3）設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為.則所以

再用均值不等式即可求出最大值.

試題解析：（1）∵∠AOB=，∴點(diǎn)O到l的距離 2分

∴=· 4分

（2）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè).

其方程為：

即

又C、D在圓O：上

∴ 即 7分

由 得

∴直線CD過(guò)定點(diǎn) 9分

（3）設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為.

則 11分

∴

∴

當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)，取“=”

∴四邊形EGFH的面積的最大值為． 14分

考點(diǎn)：圓的綜合應(yīng)用