分析 (1)由題意,f(-x)+f(x)=0恒成立,得到關(guān)于m,n的不等式組,解出即可;(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),從而求出函數(shù)值的大小即可.
解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=lg(mxx+1+n)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴f(-x)+f(x)=0,
∴l(xiāng)g( −mx−x+1+n)+lg( mxx+1+n)=0,
∴( −mx−x+1+n)•( mxx+1+n)=1,
∴[(m+n)2−1]x2+1−n2x2−1=0,
∴{1−n2=0(m+n)2−1=0m>0,解得,n=-1,m=2;
(2)由(1)得:f(x)=lg(2xx+1-1)=lgx−1x+1,
由x−1x+1>0,解得:x>1或x<-1,
∴函數(shù)f(x)的定義域是(-∞,-1)∪(1,+∞),
當(dāng)x1,x2∈(1,+∞)時(shí):
f′(x)2(x+1)(x−1)ln10>0,
故f(x)在(1,+∞)遞增,
而f″(x)=-2x(x2−1)2<0,
∴函數(shù)f(x)在(1,+∞)是凸函數(shù),
∴f(x1+x22)>12[f(x1)+f(x2)],
又f(-x)=lg−x−1−x+1=-lgx−1x+1=-f(x),
∴函數(shù)f(x)在定義域上是奇函數(shù),
∴函數(shù)f(x)在(-∞,-1)是凹函數(shù),
∴f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)].
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.
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