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9.已知函數(shù)f(x)=1g(mxx+1+n)(m,n∈R,m>0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
(1)求m,n的值;
(2)若x1x2>0,試比較f(x1+x22)與12[f(x1)+f(x2)]的大小,并說明理由.

分析 (1)由題意,f(-x)+f(x)=0恒成立,得到關(guān)于m,n的不等式組,解出即可;(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),從而求出函數(shù)值的大小即可.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=lg(mxx+1+n)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴f(-x)+f(x)=0,
∴l(xiāng)g( mxx+1+n)+lg( mxx+1+n)=0,
∴( mxx+1+n)•( mxx+1+n)=1,
[m+n21]x2+1n2x21=0,
{1n2=0m+n21=0m0,解得,n=-1,m=2;
(2)由(1)得:f(x)=lg(2xx+1-1)=lgx1x+1,
x1x+1>0,解得:x>1或x<-1,
∴函數(shù)f(x)的定義域是(-∞,-1)∪(1,+∞),
當(dāng)x1,x2∈(1,+∞)時(shí):
f′(x)2x+1x1ln10>0,
故f(x)在(1,+∞)遞增,
而f″(x)=-2xx212<0,
∴函數(shù)f(x)在(1,+∞)是凸函數(shù),
∴f(x1+x22)>12[f(x1)+f(x2)],
又f(-x)=lgx1x+1=-lgx1x+1=-f(x),
∴函數(shù)f(x)在定義域上是奇函數(shù),
∴函數(shù)f(x)在(-∞,-1)是凹函數(shù),
∴f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.

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