Question

19．已知方程x²+（m-3）x+m=0，在下列條件下，求m得范圍：
（1）兩個(gè)正根；
（2）兩個(gè)負(fù)根；
（3）兩個(gè)根都小于1；
（4）兩個(gè)根都大于$\frac{1}{2}$；
（5）一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1；
（6）兩個(gè)根都在（0，2）內(nèi)；
（7）兩個(gè)根有且僅有一個(gè)在（0，2）內(nèi)；
（8）一個(gè)根在（-2，0）內(nèi)，另一個(gè)根在（1，3）內(nèi)；
（9）一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根且正根絕對(duì)值較大；
（10）一個(gè)根小于2，一個(gè)根大于4；
（11）一個(gè)根在（-2，0）內(nèi)，另一個(gè)根在（0，4）內(nèi)．

Answer 1

分析 由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得各種情況下m的范圍．

解答 解：對(duì)于方程x²+（m-3）x+m=0，令f（x）=x²+（m-3）x+m，
（1）方程有兩個(gè)正根，等價(jià)于△=（m-3）²-4m=（m-1）（m-9）≥0，且$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，求得0＜m＜3；
（2）方程有兩個(gè)負(fù)根等價(jià)于△=（m-3）²-4m=（m-1）（m-9）≥0且$\left\{\begin{array}{l}{3-m＜0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，求得m＞3；
（3）方程兩個(gè)根都小于1等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-3）}^{2}-4m≥0}\\{\frac{3-m}{2}＜1}\\{f（1）=2m-2＞0}\end{array}\right.$，求得m≥9；
（4）方程兩個(gè)根都大于$\frac{1}{2}$，等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-3）}^{2}-4m≥0}\\{\frac{3-m}{2}＜\frac{1}{2}}\\{f（\frac{1}{2}）=\frac{3m}{2}-\frac{5}{4}＞0}\end{array}\right.$，求得m≥9；
（5）方程一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1等價(jià)于f（1）=2m-2＜0，求得 m＜1；
（6）方程兩個(gè)根都在（0，2）內(nèi)，等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-3）}^{2}-4m≥0}\\{0＜\frac{3-m}{2}＜2}\\{f（0）=m＞0}\\{f（2）=3m-2＞0}\end{array}\right.$，求得 $\frac{2}{3}$＜m≤1；
（7）方程兩個(gè)根有且僅有一個(gè)在（0，2）內(nèi)，等價(jià)于f（0）•f（2）=m（3m-2）＜0，求得 0＜m＜$\frac{2}{3}$；
（8）方程一個(gè)根在（-2，0）內(nèi)，另一個(gè)根在（1，3）內(nèi)，等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=10-m＞0}\\{f（0）=m＜0}\\{f（1）=2m-2＜0}\\{f（3）=4m＞0}\end{array}\right.$，求得m無解；
（9）方程一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根且正根絕對(duì)值較大，等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{m＜0}\end{array}\right.$，求得m＜0；
（10）方程一個(gè)根小于2，一個(gè)根大于4，等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=3m-2＜0}\\{f（4）=5m+4＜0}\end{array}\right.$，求得m＜-$\frac{4}{5}$；
（11）方程一個(gè)根在（-2，0）內(nèi)，另一個(gè)根在（0，4）內(nèi)，等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=10-m＞0}\\{f（0）=m＜0}\\{f（4）=5m+4＞0}\end{array}\right.$，求得-$\frac{4}{5}$＜m＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．