Question

已知曲線(xiàn)y=x³+4
（1）求曲線(xiàn)在P（2，12）處的切線(xiàn)方程；
（2）求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線(xiàn)方程；
（3）求斜率為1的切線(xiàn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線(xiàn)與圓

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線(xiàn)方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)，求出切線(xiàn)的斜率，得到切線(xiàn)的方程，代入點(diǎn)（2，4），再由切點(diǎn)在曲線(xiàn)上，解方程可得切點(diǎn)，進(jìn)而得到切線(xiàn)方程；
（3）設(shè)切點(diǎn)，求得切線(xiàn)的斜率，令它為1，解方程可得切點(diǎn)，進(jìn)而得到切線(xiàn)方程．

解答： 解：（1）y=x³+4的導(dǎo)數(shù)為y′=3x²，
則在P（2，12）處的切線(xiàn)斜率為3×4=12，
即有曲線(xiàn)在P（2，12）處的切線(xiàn)方程為y-12=12（x-2），
即為12x-y-12=0；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線(xiàn)斜率為3m²，
即有切線(xiàn)方程為y-n=3m²（x-m），
代入（2，4）可得4-n=3m²（2-m），
又n=m³+4，
解得m=0，n=4或m=3，n=31．
即有切線(xiàn)方程為y-4=0或27x-y-50=0；
（3）設(shè)切點(diǎn)為（s，t），則切線(xiàn)的斜率為3s²=1，
即有s=±

3

3

，
則切點(diǎn)為（

3

3

，4+

3

9

），或（-

3

3

，4-

3

9

）．
則斜率為1的切線(xiàn)方程為x-y+4-

2 3

9

=0或x-y+4+

2 3

9

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，注意區(qū)別在某點(diǎn)處和過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)，屬于易錯(cuò)題．