Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)Q(1，）．

   （1) 求橢圓C的方程；

    (2) 若過點(diǎn)M(2，0)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)在直線

上，且滿足 (O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

 

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）利用已知的性質(zhì)離心率得到a,c比例關(guān)系，同時要結(jié)合過點(diǎn)，得到橢圓的方程。

（2）中利用由已知直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為：

與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及向量關(guān)系式得到k的關(guān)系式，借助于均值不等式求解最值。

解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)殡x心率為，，

所以                                  --------------2分

設(shè)橢圓方程為又點(diǎn)在橢圓上，--------------3分

所以橢圓方程為                              --------------4分

（2）由已知直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為：

由    得

，得：，即  -------6分

設(shè)， 

,，顯然時；當(dāng)時，

，-------8分

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上所以

即                       -------9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821030182567708/SYS201207182103428412117717_DA.files/image031.png">

（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821030182567708/SYS201207182103428412117717_DA.files/image015.png">）  

  -------11分

綜上：                                               -------12分