Question

對(duì)于正整數(shù)a、b、c(a≤b≤c)和實(shí)數(shù)x、y、z、ω,a^x=b^y=c^z=30^ω, ++=,求a、b、c的值.

Answer 1

思路分析:可先從條件中化去“ω”得到含有a、b、c的方程,轉(zhuǎn)化條件可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)互化來完成.

解:在a^x=30^ω中兩邊取對(duì)數(shù)得xlga=ωlg30,∴=.

同理,得 =,  =.

又++=,∴++=1,

即lgabc=lg30.∴abc=30.

又1≤a≤b≤c,可分為三種情況:

(1)如果a=1,由a^x=30^ω,得30^ω=1,ω=0(舍去);

(2)如果a=2,得bc=15,∴b=3,c=5;

(3)如果a＞2,此時(shí)b、c無整數(shù)解.

綜上,a=2,b=3,c=5.

說明:解題中不能適時(shí)地應(yīng)用條件1≤a≤b≤c,將導(dǎo)致討論煩瑣.