已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，前n項和Sn滿足Sn=
1
2
a2n
+
1
2
an-3，（n∈N*），數(shù)列{bn}滿足：點列An（n，bn）在直線2x-y+1=0
（Ⅰ）分別求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）記Tn為數(shù)列{cn}的前n項和，且cn=bn•2an-2，求Tn；
（Ⅲ）若對任意的n∈N*不等式
an+1
(1+
1
b1+1
)•(1+
1
b2+1
)…(1+
1
bn+1
)
-
an
n+2+an
≤0恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅰ）由已知Sn=
1
2
a2n
+
1
2
an-3，
∴2Sn=
a2n
+an-6（1）
當n≥2時，2Sn-1=
a2n-1
+an-1-6（2）
兩式相減整理得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，----（2分）
注意到an＞0，∴an-an-1-1=0，∴an=n+2，
又當n=1時，a1=S1，解得a1=3適合，∴an=n+2，----（3分）
點An（n，bn）在直線l：y=2x+1上，∴bn=2n+1．----（4分）
（Ⅱ）∵Cn=bn•2an-2=(2n+1)•2n，
∴Tn=c1+c2+…+cn=3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）•2n
∴2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1，
錯位相減得Tn=(2n-1)•2n+1+2．----（8分）
（Ⅲ）∵對任意的n∈N*不等式
an+1
(1+
1
b1+1
)•(1+
1
b2+1
)…(1+
1
bn+1
)
-
an
n+2+an
≤0恒成立，
由a＞0，即a≤
1
2n+4
(1+
1
b1+1
)(1+
1
b2+1
)(1+
1
b3+1
)…(1+
1
bn+1
)，---（9分）
令f（n）=
1
2n+4
(1+
1
b1+1
)(1+
1
b2+1
)(1+
1
b3+1
)…(1+
1
bn+1
)，--（10分）
∴f（n+1）=
1
2n+4
(1+
1
b1+1
)(1+
1
b2+1
)(1+
1
b3+1
)…(1+
1
bn+1
)•(1+
1
bn+1+1
)，
∴f（n+1）＞f（n），f（n）單調(diào)遞增，----（12分）
f(n)min=f(1)=
5
6
24
．∴0＜a≤
5
6
24
．----（14分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}各項均不為0，其前n項和為Sn，且對任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p為大于1的常數(shù)），則an=（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，觀察下面的程序框圖
（1）若d≠0，分別寫出當k=2，k=3時s的表達式．
（2）當輸入a1=d=2，k=100 時，求s的值（ 其中2的高次方不用算出）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•資陽一模）已知數(shù)列{an}各項為正數(shù)，前n項和Sn=
1
2
an(an+1)．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn+1=bn+3an，求數(shù)列{bn}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，令cn=
3an
2
b
2
n
，數(shù)列{cn}前n項和為Tn，求證：Tn＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}各項均不為0，其前n項和為Sn，且對任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p≠±1的常數(shù)），記f(n)=
1+
C
1
n
a1+
C
2
n
a2+…+
C
n
n
an
2nSn
．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
f(n+1)
f(n)
；
（Ⅲ）當p＞1時，設bn=
p+1
2p
-
f(n+1)
f(n)
，求數(shù)列{pk+1bkbk+1}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，滿足n
a
2
n
+(1-n2)a n-n=0．
（1）計算a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{
an
2n
}的前n項和Sn．

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