Question

設a∈R，函數(shù)f（x）=e^-x（a+ax-x²）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（-1，f（-1））處的切線方程；
（Ⅱ）判斷f（x）在R上的單調(diào)性．

Answer 1

解：∵f（x）=e^-x（a+ax-x²）
∴f′（x）=-e^-x（a+ax-x²）+e^-x（a-2x）=e^-xx[x-（a+2）]
（Ⅰ）當a=1時f′（x）=e^-xx（x-3），
則f′（-1）=-e（-1-3）=4e，f（-1）=e（1-1-1²）=-e，
所以切點坐標為（-1，-e），切線斜率k=4e
則切線方程為y+e=4e（x+1）即4ex-y+3e=0；
（Ⅱ）令f′（x）=0得x=0，x=a+2
∴當a+2＞0即a＞-2時，f′（x）＞0
∴f（x）在（-∞，0），（a+2，+∞）單調(diào)遞增，在（0，a+2）單調(diào)遞減；
當a+2＜0即a＜-2時，f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，a+2），（0，+∞）單調(diào)遞增，在（a+2，0）單調(diào)遞減；
當a+2=0，即a=-2時，
f′（x）=e^-xx²≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增．
分析：（Ⅰ）先求出f′（x），把a=1代入f′（x）確定其解析式，根據(jù)曲線y=f（x）的切點（-1，f（-1））得到切線的斜率k=f′（-1），把x=-1代入f（x）中求出f（-1）得到切點的坐標，利用切點坐標和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）令f′（x）=0解出x的值為0和a+2，分a+2大于0，小于0，等于0三個區(qū)間討論f′（x）的正負時x的取值范圍即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
點評：此題是一道綜合題，要求學生會根據(jù)導數(shù)求曲線上某點切線的斜率以及會根據(jù)一點和斜率寫出切線的方程，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．