Question

橢圓ax²+by²=1與直線x+y-1=0相交于A，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若的斜率為，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：由已知中橢圓ax²+by²=1與直線x+y-1=0相交于A，B兩點(diǎn)，可先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），即A、B的坐標(biāo)是方程組 的解．兩式相減，得出b與a的關(guān)系，再由方程組消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得a，b值，從而求得橢圓的方程．
解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐標(biāo)是方程組 的解．
即：a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因?yàn)?=-1，
所以 =，
即 =，==，所以b=a①
再由方程組消去y得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
由|AB|===
=2 ，
得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即（ ）²-4•=4．②
由①②解得a=，b=，
故所求的橢圓的方程為 +=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的綜合，其中設(shè)而不求，聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，是解答此類問(wèn)題常用的方法．