Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=2．
（1）若點E、F分別在棱PB、AD上，且

PE

=4

EB

，

DF

=4

FA

，求證：EF⊥平面PBC；
（2）若點G在線段PA上，且三棱錐G-PBC的體積為

1

4

，試求線段PG的長．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量EF和向量BC及PB，利用數(shù)量積即可證明EF⊥平面PBC；
（2）求出平面的法向量，利用共線向量求出點到平面的距離的表達式，由三棱錐G-PBC的體積為

1

4

，求線段PG的長．

解答：解：（1）以點D為坐標(biāo)原點，DA為x軸正方向，
DC為y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2），
因為

PE

=4

EB

，

DF

=4

FA

，
所以F(

4

5

，0，0)，E(

4

5

， 

4

5

， 

2

5

)，
則

EF

=(0，-

4

5

，-

2

5

)，

BC

=(-1，0，0)，

PB

=(-1，-1，2)．

EF

•

BC

=0，

EF

•

PB

=0，
即EF垂直于平面PBC中兩條相交直線，所以EF⊥平面PBC．
法二（1）

PA

=(1，0，-2)，可設(shè)

PG

=λ

PA

(0≤λ≤1)，
所以向量

PG

的坐標(biāo)為（λ，0，-2λ），
平面PBC的法向量為

EF

=(0，-

4

5

，-

2

5

)．

EF

•

BC

=0  ， 

EF

•

PB

=0，
即EF垂直于平面PBC中兩條相交直線，所以EF⊥平面PBC．
（2）

PA

=(1，0，-2)，可設(shè)

PG

=λ

PA

(0≤λ≤1)，
所以向量

PG

的坐標(biāo)為（λ，0，-2λ），
平面PBC的法向量為

EF

=(0，-

4

5

，-

2

5

)．
點G到平面PCE的距離d=

| PG • EF |

| EF |

=

4 5 λ

2 5 5

=

2λ

5

．
△PBC中，BC=1，PB=

5

，PB=

6

，
所以S△PBC=

5

2

．
三棱錐G-PBC的體積V=

1

3

S△PBC• d=

1

3

•

5

2

•

2λ

5

=

λ

3

=

1

4

，
∴λ =

3

4

．
此時向量

PG

的坐標(biāo)為(

3

4

，0，-

3

2

)，|

PG

| =

3 5

4

，
即線段PG的長為

3 5

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．