Question

【題目】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)。（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值）

求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

證明：b>3a;

若， 這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于，求a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以，所以，

因?yàn)?/span>，所以.

（2），

因?yàn)?/span>，

所以，所以b>3a.

（3）由（1），

，

，∴，∴，，.

【解析】

解：（1）由，得.

當(dāng)時(shí)，有極小值.

因?yàn)?/span>的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).

所以，又，故.

因?yàn)?/span>有極值，故有實(shí)根，從而，即.

時(shí)，，故在R上是增函數(shù)，沒有極值；

時(shí)，有兩個(gè)相異的實(shí)根，.

列表如下

x
	+	0	–	0	+
		極大值		極小值

故的極值點(diǎn)是.

從而，

因此，定義域?yàn)?/span>.

（2）由（1）知，.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，所以，故，即.

因此.

（3）由（1）知，的極值點(diǎn)是，且，.

從而

記，所有極值之和為，

因?yàn)?/span>的極值為，所以，.

因?yàn)?/span>，于是在上單調(diào)遞減.

因?yàn)?/span>，于是，故.

因此a的取值范圍為.