Question

（本小題滿分16分）

對于函數(shù)y＝，x∈(0，，如果a，b，c是一個三角形的三邊長，那么，，也是一個三角形的三邊長， 則稱函數(shù)為“保三角形函數(shù)”．

對于函數(shù)y＝，x∈，，如果a，b，c是任意的非負(fù)實(shí)數(shù)，都有，，是一個三角形的三邊長，則稱函數(shù)為“恒三角形函數(shù)”．

（1）判斷三個函數(shù)“＝x，＝，＝(定義域均為x∈(0，)”中，那些是“保三角形函數(shù)”？請說明理由；

（2）若函數(shù)＝，x∈，是“恒三角形函數(shù)”，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）如果函數(shù)是定義在(0，上的周期函數(shù)，且值域也為(0，，試證明：既不是“恒三角形函數(shù)”，也不是“保三角形函數(shù)”．

 

Answer 1

【答案】

解析：（1）對于＝x，它在(0，上是增函數(shù)，不妨設(shè)a≤b≤c，則≤≤，因?yàn)閍＋b＞c，所以＋＝a＋b＞c＝，故是“保三角形函數(shù)”．

對于＝，它在(0，上是增函數(shù)，，不妨設(shè)a≤b≤c，則≤≤，因?yàn)閍＋b＞c，所以＋＝＋＝＞＞＝，故是“保三角形函數(shù)”．

對于＝，取a＝3，b＝3，c＝5，顯然a，b，c是一個三角形的三邊長，但因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052320381450005410/SYS201205232040389687777567_DA.files/image018.png">＋＝＜＝，所以，，不是三角形的三邊長，故不是“保三角形函數(shù)”．

（2）解法1：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052320381450005410/SYS201205232040389687777567_DA.files/image023.png">＝1＋，所以當(dāng)x＝0時(shí)，＝1；當(dāng)x＞0時(shí)，＝1＋．

①當(dāng)k＝－1時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052320381450005410/SYS201205232040389687777567_DA.files/image023.png">＝1，適合題意．

②當(dāng)k＞－1時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052320381450005410/SYS201205232040389687777567_DA.files/image023.png">＝1＋≤1＋＝k＋2，所以∈，．從而當(dāng)k＞－1時(shí)，∈，．由1＋1＞k＋2，得k＜0，所以－1＜k＜0．

③當(dāng)k＜－1時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052320381450005410/SYS201205232040389687777567_DA.files/image023.png">＝1＋≥1＋＝k＋2，所以∈，，從而當(dāng)k＞－1時(shí)，所以∈，．由得，k＞，所以＜k＜－1．

綜上所述，所求k的取值范圍是(，0)．

解法2：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052320381450005410/SYS201205232040389687777567_DA.files/image035.png">＝＝，

①當(dāng)k＝－1時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052320381450005410/SYS201205232040389687777567_DA.files/image023.png">＝1，適合題意．

②當(dāng)k＞－1時(shí)，可知在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，而＝1，＝k＋2，且當(dāng)x＞1時(shí)，＞1，所以此時(shí)∈，．

③當(dāng)k＜－1時(shí)，可知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，而＝1，＝k＋2，且當(dāng)x＞1時(shí)，＜1，所以此時(shí)∈，．

（以下同解法1）

（3）①因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052320381450005410/SYS201205232040389687777567_DA.files/image041.png">的值域是(0，，所以存在正實(shí)數(shù)a，b，c，使得＝1，＝1，＝2，顯然這樣的，，不是一個三角形的三邊長．

故不是“恒三角形函數(shù)”．

②因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052320381450005410/SYS201205232040389687777567_DA.files/image041.png">的最小正周期為T(T＞0)，令a＝b＝m＋kT，c＝n，其中k∈，且k＞，則a＋b＞c，又顯然b＋c＞a，c＋a＞b，所以a，b，c是一個三角形的三邊長．

但因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052320381450005410/SYS201205232040389687777567_DA.files/image042.png">＝＝＝1，＝＝2，所以，，不是一個三角形的三邊長．

故也不是“保三角形函數(shù)”．

（說明：也可以先證不是“保三角形函數(shù)”，然后根據(jù)此知也不是“恒三角形函數(shù)”．）

 

【解析】略