Question

已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，點F為PC的中點．

(Ⅰ)求證：PA∥平面BFD；

(Ⅱ)求二面角P―BF―D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：連結(jié)，與交于點，連結(jié)．是菱形，∴是的中點．點為的中點，∴．平面平面，∴平面． 　　(Ⅱ)解法一： 　　平面，平面，∴. 　　，∴．是菱形，∴． 　　， 　　∴平面． 　　作，垂足為，連接，則， 　　所以為二面角的平面角． 　　，∴，． 　　在Rt△中，＝，∴． 　　∴二面角的大小為 　　二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ) 　　∴二面角的大小為－ 　　解法二：如圖，以點為坐標(biāo)原點，線段的垂直平分線所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令， 　　則，，． 　　∴．設(shè)平面的一個法向量為， 　　由，得， 　　令，則，∴． 　　平面，平面， 　　∴． 　　，∴． 　　是菱形，∴． 　　，∴平面． 　　∴是平面的一個法向量，． 　　∴， 　　∴，∴．13分 　　∴二面角的大小為 　　∴二面角的大小為－．