Question

已知函數(shù)（）

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，試確定的值；并求出該曲線在點(diǎn)處的切線方程．

（2）若函數(shù)在時(shí)，取得極值，試確定的值，并求出的單調(diào)區(qū)間；

Answer 1

（1）；（2），增區(qū)間為：，減區(qū)間為：．

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，利用兩直線垂直求出值，代入即可切線方程；（2）求導(dǎo)，先利用存在極值求得值，再利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解題思路:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的一般步驟：第一步，求導(dǎo)；第二步，求斜率；第三步，寫出切線方程的點(diǎn)斜式方程，化成一般式方程．

試題解析：（1）由已知直線n的斜率

則與之垂直的切線m的斜率 1分

求導(dǎo)，得： 2分

令: 3分

解得， 4分

∴此時(shí)，，把x=1代入，

得：，則切點(diǎn)為（1，1） 5分

寫出切線方程：即 6分

（2）求導(dǎo)，得： 7分

由題意（在時(shí)，取得極值），即

∴ 8分

解出： 9分

∴，

由于，函數(shù)的定義域顯然為，即x>0 10分

∴時(shí)，，則原函數(shù)為增函數(shù)，時(shí)，，則原函數(shù)為減函數(shù)， 11分

∴原函數(shù)的增區(qū)間為：

原函數(shù)的減區(qū)間為：

考點(diǎn)：1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）函數(shù)的極值；3．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．