Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），當(dāng)x=-1時(shí)f（x）取得極大值

2

3

，且函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)xn=

2n-1

2n

，ym=

2 (1-3m)

3m

(m，n∈N*)，求證：|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過(guò)函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，求出 b=d=0，當(dāng)x=-1時(shí)f（x）取得極大值，導(dǎo)數(shù)為0，求出a，c，即可求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出x_n的范圍，推出f(xn)∈(f(1)，f(

1

2

)]，類(lèi)比求出f(ym)∈(f(-

2

)，f(-1)]，即f(ym)∈(

2

3

，

2

3

]，即可求證：|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ） 由f（x）為奇函數(shù)知 b=d=0…2′
又f′（-1）=0且f（-1）=

2

3

得

a= 1 3 c=-1

∴f（x）=

1

3

x3-x…4′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x²-1
∵xn=

2n-1

2n

=1-

1

2n

，(n∈N*)，

1

2

≤xn＜1…6′
因?yàn)楫?dāng)x∈[

1

2

，1)時(shí)，f′（x）=x²-1＜0，即函數(shù)f（x）在[

1

2

，1)上遞減∴f(xn)∈(f(1)，f(

1

2

)]，即f(xn)∈(-

2

3

，-

11

24

]…8′
又ym=

2 (1-3m)

3m

=

2

(

1

3m

-1)，(m∈N*)，-

2

＜

2

(

1

3n

-1)≤-

2 2

3

…10′
又因?yàn)楫?dāng)x∈(-

2

，-1)時(shí)，f′（x）=x²-1＞0，即函數(shù)f（x）在(-

2

，-1)上遞增；
當(dāng)x∈(-1，-

2 2

3

)時(shí)，f′（x）=x²-1＜0，即函數(shù)f（x）在(-1，-

2 2

3

)上遞減
∵f(-

2

)=

1

3

•(-

2

)3+

2

=

2

3

，f(-

2 2

3

)=

1

3

(-

2 2

3

)3+

2 2

3

=

38 2

81

∴f(-

2

)＜f(-

2 2

3

)
∴f(ym)∈(f(-

2

)，f(-1)]，
即：f(ym)∈(

2

3

，

2

3

]…12′
∴|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)＜

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

…13′

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的極值、單調(diào)性，函數(shù)的解析式的求法，以及不等式的證明．難度較大，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．