Question

從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)M，按向量a=(0,1)移動(dòng)的概率為，按向量b=（0，2）移動(dòng)的概率為，設(shè)M可到達(dá)點(diǎn)（0，n）的概率為P_n
(1)求P₁和P₂的值；（2）求證：=;(3)求的表達(dá)式。

Answer 1

（1）P₁= ，P₂=； （2）證明見解析；（3）(-)ⁿ

（1）P₁= ，P₂=（）²+=
（2）證明：M到達(dá)點(diǎn)（0，n+2）有兩種情況：①從點(diǎn)（0，n+1）按向量a=（0，1）移動(dòng)；②從點(diǎn)（0，n）按向量b=（0，2）移動(dòng).
∴+     ∴=
（3）數(shù)列{}是以P₂-P₁為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列.
= (P₂-P₁)(-)^n-1=(-)^n-1=(-)ⁿ⁺¹,
∴=(-)ⁿ,
又∵=（）+（）+…+(P₂-P₁)
=(-)ⁿ+(-)^n-1+…+(-)²=()[1- (-)^n-1]
∴+()[1- (-)^n-1]= (-)ⁿ