Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-2^-x．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數(shù)f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先明確函數(shù)的定義域?yàn)镽，然后利用奇偶函數(shù)的定義判斷．
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是R，
因?yàn)閒（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）=2^x-2^-x是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）=2 x1-2 -x1，f（x₂）=2 x2-2 -x2，
∴f（x₁）-f（x₂）=2 x1-2 -x1-（2 x2-2 -x2）
=(2x1-2x2)(1+

1

2x1+x2

)，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，1+

1

2x1+x2

＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，直接利用定義解決即可．