【題目】已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 點P(an , Sn)在函數(shù)f(x)= x2+ x上,已知b1=1,3bn﹣2bn﹣1=0(n≥2,n∈N*),
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若cn=anbn , 求數(shù)列{cn}的前n項和Tn;
(3)是否存在整數(shù)m,M,使得m<Tn<M對任意正整數(shù)n恒成立,且M﹣m=9,說明理由.
【答案】
(1)解:∵點P(an,Sn)在函數(shù)f(x)= x2+ x上,
∴Sn= + an,Sn﹣1= + an﹣1(n≥2),
兩式相減,整理得:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣1)=0,
又∵an>0,
∴an=an﹣1+1,
又∵S1= + a1,即a1=1,
∴數(shù)列{an}是首項和公差均為1的等差數(shù)列,
∴an=n;
(2)解:∵b1=1,3bn﹣2bn﹣1=0(n≥2,n∈N*),
∴數(shù)列{bn}是首項為1、公比為 的等比數(shù)列,
∴ , ,
∴ ,
Tn= +2× +…+n× ,
兩式相減,得: Tn=1+ + +…+ ﹣n×
= ﹣n×
=3﹣(n+3)× ,
∴Tn=9﹣(3n+9)×
(3)解:結論:假設存在整數(shù)m、M,使得m<Tn<M對任意正整數(shù)n恒成立,且M﹣m=9.
理由如下:
由(2)知:Tn=9﹣(3n+9)× <9,
又∵Tn﹣1=9﹣[3(n﹣1)+9]× ,
∴Tn﹣Tn﹣1=(3n+6)× ﹣(3n+9)× =n× >0,
∴數(shù)列{Tn}是單調(diào)遞增數(shù)列,
∴(Tn)min=T1=9﹣12× =1,
∴1<Tn<9,
∴m=0,M=9,
∴存在整數(shù)m、M,使得m<Tn<M對任意正整數(shù)n恒成立,且M﹣m=9.
【解析】(1)通過將點P(an , Sn)代入函數(shù)f(x)= x2+ x中,利用Sn= + an與Sn﹣1= + an﹣1(n≥2)作差,進而可知數(shù)列{an}是首項和公差均為1的等差數(shù)列,計算即得結論;(2)利用錯位相減法計算即得結論;(3)通過(2)知Tn<9,利用作差法可知數(shù)列{Tn}是單調(diào)遞增數(shù)列,進而計算可得結論.
【考點精析】關于本題考查的數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式,需要了解數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=AD=CD,AB∥CD,∠ADC=90°.
(1)在側棱PC上是否存在一點Q,使BQ∥平面PAD?證明你的結論;
(2)求證:平面PBC⊥平面PCD;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從高三學生中抽取50名同學參加數(shù)學競賽,成績的分組及各組的頻數(shù)如下(單位:分):
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100),8.
(1)列出樣本的頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖;
(3)估計成績在[60,90)分的學生比例;
(4)估計成績在85分以下的學生比例.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P為A1D1的中點,Q為A1B1上任意一點,E,F(xiàn)為CD上任意兩點,且EF的長為定值b,則下面的四個值中不為定值的是( )
A.點P到平面QEF的距離
B.三棱錐P﹣QEF的體積
C.直線PQ與平面PEF所成的角
D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
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【題目】某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機和智能洗衣機,由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大,有多少就能銷售多少,因此該公司要根據(jù)實際情況(如資金、勞動力)確定產(chǎn)品的月供應量,以使得總利潤達到最大.已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力,通過調(diào)查,得到關于這兩種產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)如表:
試問:怎樣確定兩種貨物的月供應量,才能使總利潤達到最大,最大利潤是多少?
資金 | 單位產(chǎn)品所需資金(百元) | ||
空調(diào)機 | 洗衣機 | 月資金供應量(百元) | |
成本 | 30 | 20 | 300 |
勞動力(工資) | 5 | 10 | 110 |
單位利潤 | 6 | 8 |
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【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸:
抽取次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
零件尺寸 | 9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
抽取次序 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
零件尺寸 | 10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計算得, , , ,其中為抽取的第個零件的尺寸, .
(1)求 的相關系數(shù),并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變。ㄈ,則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變。
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.
(。⿵倪@一天抽檢的結果看,是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查?
(ⅱ)在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差.(精確到0.01)
附:樣本 的相關系數(shù), .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在三棱錐S﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC= ,SA=SC=2,二面角S﹣AC﹣B的余弦值是 ,若S、A、B、C都在同一球面上,則該球的表面積是 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足
=2kan對任意正整數(shù)n(n> k) 總成立,則稱數(shù)列{an} 是“P(k)數(shù)列”.
(1)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”;
若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列.
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