Question

如圖，∠ACB=45°，BC=6過(guò)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，沿AD將△ABD折起，組成三棱錐A-BCD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥平面ABC，且點(diǎn)E為三角形ABC的垂心．
（1）求證：△BDC為直角三角形．
（2）當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大？并求出其最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接CE并延長(zhǎng)，使CE∩AB=F，先證明出AB⊥CD和AD⊥DC，進(jìn)而推斷出CD⊥平面ABD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出CD⊥BD，即△BDC為直角三角形．
（2）設(shè)CD=x，表示出棱錐A-BCD體積的表達(dá)式，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求得x，把x代入體積表達(dá)式，求得體積的最大值．

解答： （1）證明：連接CE并延長(zhǎng)，使CE∩AB=F，
∵點(diǎn)E為垂心，
∴AB⊥CF，
∵DE⊥平面ABC，
∴AB⊥DF，
∴AB⊥平面CDF，
∵CD?平面CDF，
∴AB⊥CD，
∵AD⊥BD，AD⊥CD，
∴AD⊥平面BDC，
∵DC?平面BDC，
∴AD⊥DC，
∵AD?平面ABD，BD?平面ABD，AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD，
∵BD?平面ABD，
∴CD⊥BD，即∠BDC=90°，
∴△BDC為直角三角形．
（2）設(shè)CD=x，所以AD=x，即三棱錐A-BCD的體積V=

1

6

x²（6-x），
V′=

1

6

（-3x²+12x）=-

1

2

x（x-4）
即當(dāng)x=4時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大．Vmax=

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定和線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，三棱錐體積的計(jì)算．考查了學(xué)生空間觀察能力和運(yùn)算能力．