Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函數(shù)，
（1）求a值，并判斷f（x）的單調(diào)性（不需證明）；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，利用f（0）=0，建立方程即可求a值，并判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵定義域為R的函數(shù)f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函數(shù)，
∴f(0)=

-1+a

2

=0，
∴a=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

經(jīng)驗證，f（x）為奇函數(shù)，
∴a=1，
函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
（2）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（1），f（x）是減函數(shù)，
∴原問題轉(zhuǎn)化為t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0對任意t∈R恒成立
∴△=4+12k＜0，
得k＜-

1

3

即為所求．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用二次函數(shù)和二次不等式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．