Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）＞0恒成立；
（3）判斷并證明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）令y=0，x=-1，得f（-1）=f（-1）f（0）…
∵x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1，
∴f（-1）＞0…
∴f（0）=1…
（2）∵當(dāng)x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1
∴當(dāng)x＞0，則-x＜0，令y=-x，得f（0）=f（x）f（-x）
得…
故對(duì)于任意x∈R，都有f（x）＞0…
（3）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，∴0＜f（x₁-x₂）＜1…
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＜f（x₂）…
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)…
分析：（1）令y=0，x=-1，由f（x+y）=f（x）f（y）得：f（-1）=f（-1）f（0），進(jìn)而得到f（0）=1
（2）由已知中：當(dāng)x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1，可得x＞0時(shí)，-x＜0，令y=-x，可由（1）的結(jié)論，證得f（x）＞0恒成立；
（3）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，結(jié)合當(dāng)x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1，可得f（x₁）＜f（x₂），進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．