【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明: 且).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1) ,分兩種情況討論的符號(hào),即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)結(jié)合(1)的結(jié)論,求出函數(shù)的最大值,即可得出結(jié)論;
(3)由(2)知: 時(shí), 在上恒成立,且在上單調(diào)遞減, ,所以在上恒成立,令,則,再利用放縮法即可證明結(jié)論.
試題解析:
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
①若時(shí), 時(shí), ,
的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;
②時(shí), 恒成立, 的單調(diào)遞增區(qū)間是,
綜上①②知: 時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間是,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;
時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)由(1)知:當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,且,
恒成立是假命題;
當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知: 是函數(shù)的最大值點(diǎn),
,
,
故的取值范圍是.
(3)證明:由(2)知: 時(shí), 在上恒成立,
且在上單調(diào)遞減, ,
,即在上恒成立.
令,則,即,
,
=,
故且).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中, , , 為的中點(diǎn), 為的中點(diǎn),且為正三角形.
(1)求證: 平面;
(2)若,三棱錐的體積為1,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù),根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30] | 2 | 0.05 |
合計(jì) | M | 1 |
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù);
(3)估計(jì)這次學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)人數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)舉行一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”,全校學(xué)生參加了這次競(jìng)賽.為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(得分取正整數(shù),滿(mǎn)分為分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問(wèn)題:
(Ⅰ)寫(xiě)出, , , 的值.
(Ⅱ)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)是分以上(含分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取名同學(xué)到廣場(chǎng)參加環(huán)保知識(shí)的志愿宣傳活動(dòng),求所抽取的名同學(xué)來(lái)自同一組的概率.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設(shè)表示所抽取的名同學(xué)中來(lái)自第組的人數(shù),求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
組別 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
合計(jì) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)已知函數(shù)的最小值為,若實(shí)數(shù)且,求的
最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問(wèn)各出幾何?此問(wèn)題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說(shuō):“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說(shuō):“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還升, 升, 升,1斗為10升,則下列判斷正確的是( )
A. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
B. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
C. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
D. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè),如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重(單位:克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是( )
A. 90 B. 75
C. 60 D. 45
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《續(xù)古摘奇算法》(楊輝)一書(shū)中有關(guān)于三階幻方的問(wèn)題:將1,2,3,4,5,6,7,8,9分別填入的方格中,使得每一行,每一列及對(duì)角線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)的和都相等(如圖所示),我們規(guī)定:只要兩個(gè)幻方的對(duì)應(yīng)位置(如每行第一列的方格)中的數(shù)字不全相同,就稱(chēng)為不同的幻方,那么所有不同的三階幻方的個(gè)數(shù)是( )
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
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