【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)a=2時,求曲線在點處的切線方程;
(2)設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.
【答案】(1) 3x﹣y﹣9=0;(2) 若a>0時, 在(﹣∞,0), (a,+∞)上單調(diào)遞增, 在(0,a)上單調(diào)遞減, 當(dāng)x=a時,函數(shù)有極小值,極小值為g(a)=﹣a3﹣sina
當(dāng)x=0時,有極大值,極大值為g(0)=﹣a; 若a<0時, g(x)在(﹣∞,a)上單調(diào)遞增, 在(0,a)上單調(diào)遞減,當(dāng)x=a時,函數(shù)有極大值,極大值為g(a)=﹣a3﹣sina
當(dāng)x=0時,有極小值,極小值為g(0)=﹣a; 當(dāng)a=0時, g(x)在(﹣∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增, 無極值.
【解析】試題分析:試題分析:
試題解析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程,(2)先求導(dǎo),再分類討論即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
試題解析:
(1)當(dāng)a=2時,f(x)=x3﹣x2,
∴f′(x)=x2﹣2x,
∴k=f′(3)=9﹣6=3,f(3)=×27﹣9=0,
∴曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程y=3(x﹣3),即3x﹣y﹣9=0
(2)函數(shù)g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx=x3﹣ax2+(x﹣a)cosx﹣sinx,
∴g′(x)=(x﹣a)(x﹣sinx),
令g′(x)=0,解得x=a,或x=0,
①若a>0時,當(dāng)x<0時,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x>a時,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)0<x<a時,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x=a時,函數(shù)有極小值,極小值為g(a)=﹣a3﹣sina
當(dāng)x=0時,有極大值,極大值為g(0)=﹣a,
②若a<0時,當(dāng)x>0時,g′(x)>0恒成立,故若a<0時,
當(dāng)x<a時,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,a)上單調(diào)遞增,
當(dāng)a<x<0時,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(a,0)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x=a時,函數(shù)有極大值,極大值為g(a)=﹣a3﹣sina
當(dāng)x=0時,有極小值,極小值為g(0)=﹣a
③當(dāng)a=0時,g′(x)=x(x+sinx),
當(dāng)x>0時,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x<0時,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞增,
∴g(x)在R上單調(diào)遞增,無極值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被指定為乒乓球比賽專用球.日前有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測,檢測結(jié)果如下表所示:
抽取球數(shù)n | 50 | 100 | 200 | 500 | 1 000 | 2 000 |
優(yōu)等品數(shù)m | 45 | 92 | 194 | 470 | 954 | 1 902 |
優(yōu)等品頻率 |
(1)計算表中乒乓球為優(yōu)等品的頻率.
(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個,檢測出為優(yōu)等品的概率是多少?(結(jié)果保留到小數(shù)點后三位)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), (a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數(shù).
(Ⅰ) 求的值
(Ⅱ)若,試求不等式的解集;
(Ⅲ)若,且,求在上的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】出一份道題的數(shù)學(xué)試卷,試卷內(nèi)的道題是這樣產(chǎn)生的:從含有道選擇題的題庫中隨機抽道;從道填空題的題庫中隨機抽道;從道解答題的題庫中隨機抽道.使用合適的方法確定這套試卷的序號(選擇題編號為,填空題編號為,解答題編號為).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若, ,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且方程在內(nèi)有解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓(),圓(),若圓的一條切線與橢圓相交于兩點.
(1)當(dāng), 時,若點都在坐標(biāo)軸的正半軸上,求橢圓的方程;
(2)若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,探究是否滿足,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·廣東卷)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是( )
A. l與l1,l2都不相交
B. l與l1,l2都相交
C. l至多與l1,l2中的一條相交
D. l至少與l1,l2中的一條相交
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓和直線: ,橢圓的離心率,坐標(biāo)原點到直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知定點,若直線過點且與橢圓相交于兩點,試判斷是否存在直線,使以為直徑的圓過點?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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