Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長與側棱長相等．螞蟻甲從A點沿表面經(jīng)過棱BB₁，CC₁爬到點A₁，螞蟻乙從B點沿表面經(jīng)過棱CC₁爬到點A₁．如圖，設∠PAB=α，∠QBC=β，若兩只螞蟻各自爬過的路程最短，則α+β=

 

．

Answer 1

考點：多面體和旋轉體表面上的最短距離問題

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：將三棱柱沿著側棱AA₁展開，則tanα=

1

3

．同理tanβ=

1

2

，再利用和角的正切公式，即可得出結論．

解答： 解：將三棱柱沿著側棱AA₁展開，則tanα=

1

3

．
同理tanβ=

1

2

，
∴tan（α+β）=

1 3 + 1 2

1- 1 3 • 1 2

=1，
∵α+β∈（0，

π

2

），
∴α+β=

π

4

故答案為：

π

4

．

點評：本題考查多面體和旋轉體表面上的最短距離問題，考查和角的正切公式，正確運用側面展開圖是關鍵．