Question

已知函數(shù)f（n）=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*）若存在正整數(shù)k滿足：f（1）•f（2）•f（3）•…•f（n）=k，那么我們把k叫做關于n的“對整數(shù)”，則當n∈[1，10]時，“對整數(shù)”共有

 

個．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)題目給出的新定義，把f（1），f（2），f（3），…，代入乘積式化簡后得k=log₂（n+2），則n+2=2^k，求出[1，10]內(nèi)滿足n+2=2^k的n的個數(shù)．

解答： 解：∵f（n）=log_（n+1）（n+2），
∴k=f（1）•f（2）•f（3）•…•f（n）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=

lg(n+2)

lg2

=log₂（n+2），
∴n+2=2^k，k∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10} 時滿足要求，
∴當n∈[1，10]時，則“對整數(shù)”k的個數(shù)為2個：即k=2，k=3，
故答案為：2．

點評：題考查了對數(shù)的運算性質，是新定義題，考查了數(shù)學轉化思想，解答此題的關鍵是對乘積式的化簡，屬于基礎題．