已知函數(shù)h(x)=
x2-4x+m
x-2
(x∈R，且x＞2），函數(shù)y=t（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3），且y=t（x）與y=h（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，將函數(shù)y=h（x）的圖象向左平移2個(gè)單位后得到函數(shù)y=f（x）的圖象．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g(x)=f(x)+
a
x
，g(x)在區(qū)間（0，3]上的值不小于8，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（III）若函數(shù)f（x）滿足：對任意的x1，x2∈（a，b）（其中x1≠x2），有
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)，稱函數(shù)f（x）在（a，b）的圖象是“下凸的”．判斷此題中的函數(shù)f（x）圖象在（0，+∞）是否是“下凸的”？如果是，給出證明；如果不是，說明理由．
分析：（Ⅰ）由題意，h（x）的圖象經(jīng)過（3，4），代入可得m的值，從而可求h（x）、f（x）的解析式；
（Ⅱ）由已知有x+
3+a
x
≥8，分離參數(shù)，利用求函數(shù)最值的方法，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）利用新定義，作差，證明其差小于0，即可判斷．
解答：解：（Ⅰ）由題意，h（x）的圖象經(jīng)過（3，4），代入可得4=
9-12+m
3-2
，解得m=7
∴h(x)=
x2-4x+7
x-2
，∴f（x）=h（x+2）=x+
3
x
；（3分）
（Ⅱ）∵g(x)=x+
3+a
x
，
∴由已知有x+
3+a
x
≥8有a≥-x2+8x-3，（6分）
令t（x）=-x2+8x-3，則t（x）=-（x-4）2+13，于是t（x）在（0，3）上是增函數(shù)．
∴t（x）max=12．
∴a≥12．                                                              （8分）
（III）f(x)=x+
3
x
的圖象在（0，+∞）是“下凸的”．                            （9分）
∵f(
x1+x2
2
)-
f(x1)+f(x2)
2
=(
x1+x2
2
+
3
x1+x2
2
)-
x1+
3
x1
+x2+
3
x2
2

=
(x1+x2)2+12-(x1+x2)(x1+
3
x1
+x2+
3
x2
)
2(x1+x2)
=
12-
3(x1+x2)2
x1x2
2(x1+x2)
＜
12-
3(2
x1x2
)2
x1x2
2(x1+x2)
=0
∴
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)
∴f(x)=x+
3
x
的圖象在（0，+∞）是“下凸的”．                               （12分）
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查恒成立問題，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=elnx，g（x）=e-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…）
（1）求函數(shù)g（x）的極大值；
（2 ）求證：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln(n+1)(n∈N*)；
（3）對于函數(shù)f（x）與h（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數(shù)f（x）與h（x）的“分界線”．設(shè)函數(shù)h(x)=
1
2
x2，試探究函數(shù)f（x）與h（x）是否存在“分界線”？若存在，請加以證明，并求出k，b的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
ax-1
的圖象過點(diǎn)（2，2）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g(x)=
1
x
，則g(x)的圖象經(jīng)過怎樣的變換可與函數(shù)f（x）的圖象重合；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）•g（x），求h（x）在（1，5]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)h（x）=x2，φ（x）=2elnx（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）判斷函數(shù)F（x）=h（x）-φ（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明你的結(jié)論；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，φ（x）圖象不可能在直線y=2
e
x-e的上方．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
，g(x)=alnx，a∈R
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，求a的值和該切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），當(dāng)h（x）存在最小值時(shí)，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅲ）對（Ⅱ）中的φ（a）和任意的a＞0，b＞0，證明：φ′(
a+b
2
)≤
φ′(a)+φ′(b)
2
≤φ′(
2ab
a+b
)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=2log2（1-x）
（1）求f（x）及g（x）的解析式，并指出其單調(diào)性（無需證明）．
（2）求使f（x）＜0的x取值范圍．
（3）設(shè)h-1（x）是h（x）=log2x的反函數(shù)，若存在唯一的x使
1-h-1(x)1+h-1(x)
=m-2x成立，求m的取值范圍．

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