Question

已知函數(shù)f(x)=

x

，g(x)=alnx，a∈R
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，求a的值和該切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），當(dāng)h（x）存在最小值時(shí)，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅲ）對(duì)（Ⅱ）中的φ（a）和任意的a＞0，b＞0，證明：φ′(

a+b

2

)≤

φ′(a)+φ′(b)

2

≤φ′(

2ab

a+b

)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)y=f（x）與y=g（x）交點(diǎn)處有共同的切線，建立方程組，解之可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，以及切線的斜率，從而求出切線方程；
（Ⅱ）由條件知h(x)=

x

-alnx(x＞0)，然后討論a的正負(fù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出求出h（x）的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知φ'（a）=-2ln2a，從而分別求出φ′(

a+b

2

)、

φ′(a)+φ′(b)

2

、φ′(

2ab

a+b

)的值，然后利用基本不等式可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

2 x

，g′(x)=

a

x

(x＞0)，
由已知得

x =alnx 1 2 x = a x

解得a=

e

2

，x=e2，
∴兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e²，e），切線的斜率為k=f′(e2)=

1

2e

，
∴切線的方程為y-e=

1

2e

(x-e2)
（Ⅱ）由條件知h(x)=

x

-alnx(x＞0)，
∴h′(x)=

1

2 x

-

a

x

=

x -2a

2x

（ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，令h'（x）=0，解得x=4a²，
∴當(dāng)0＜x＜4a²時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上遞減；
當(dāng)x＞4a²時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（4a²，+∞）上遞增
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一極值點(diǎn)，從而也是h（x）的最小值點(diǎn)
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a-aln4a²=2a（1-ln2a）
（ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，h′(x)=

a -2a

2x

＞0，h(x)在（0，+∞）上遞增，無(wú)最小值，
故h（x）的最小值φ（a）的解析式為φ（a）=2a（1-ln2a）（a＞0）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知φ'（a）=-2ln2a
對(duì)任意的a＞0，b＞0

φ′(a)+φ′(b)

2

=-

2ln2a+2ln2b

2

=-ln4ab①φ′(

a+b

2

)=-2ln(2•

a+b

2

)=-ln(a+b)2≤-ln4ab②
φ′(

2ab

a+b

)=-2ln(2•

2ab

a+b

)≥=-2ln

4ab

2 ab

=-ln4ab③
故由①②③得φ′(

a+b

2

)≤

φ′(a)+φ′(b)

2

≤φ′(

2ab

a+b

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用，以及計(jì)算能力，屬于中檔題．