Question

如圖，已知三角形△ABC與△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，點(diǎn)P，Q分別在線段BD，CD上，沿直線PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合．

（Ⅰ）求證：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求BP的長；
（Ⅲ）求直線AP與平面BCD所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）由已知中面ABC⊥面BCQ，及=∠BCD=90°，我們根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，我們易得CQ⊥面ABC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的定義，即可得到AB⊥CQ；
（Ⅱ）作AO⊥BC，垂足為O，則AO⊥平面BCQ，連接OP，利用AP=DP，即可求BP的長；
（Ⅲ）由（I）知AO⊥平面BCD，可得∠APO是直線AP與平面BCD所成的角．

解答： （I）證明：∵面ABC⊥面BCQ
又CQ⊥BC
∴CQ⊥面ABC
∴CQ⊥AB；
（Ⅱ）解：作AO⊥BC，垂足為O，則AO⊥平面BCQ，連接OP，
設(shè)AB=4，則BD=2，設(shè)BP=x，
由題意AP=DP，∴(

2

2

)2+x2-2×

2

2

×xcos45°+(

2

2

)2=(2-x)2，
∴x=1；
（Ⅲ）解：由（I）知AO⊥平面BCD，
∴∠APO是直線AP與平面BCD所成的角，
∴∠APO=45°，
∴直線AP與平面BCD所成的角為45°．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成的角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．