Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)M（0，1），且與直線(xiàn)L：y=-1相切．．
（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線(xiàn)OA和OB的傾斜角分別
為α和β，當(dāng)α，β變化且α+β=θ為定值時(shí)，證明：直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）依據(jù)拋物線(xiàn)的定義即可得C的軌跡的方程；
（2）欲求證直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)，可先根據(jù)條件求出帶參數(shù)θ的直線(xiàn)AB的方程，再結(jié)合θ為定值即可證得．
解答：解：（1）由拋物線(xiàn)定義知C的軌跡是拋物線(xiàn)，且p=2，
∴動(dòng)圓圓心C的軌跡方程：x²=4y（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)
則直線(xiàn)AB的方程為：，
化簡(jiǎn)得：（9分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212018068725340/SYS201310232120180687253021_DA/3.png">，
由α+β=θ，得tanθ=
則，
所以（12分）
所以直線(xiàn)AB方程為
即
所以直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)．（15分）
點(diǎn)評(píng)：定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線(xiàn)的定義），可從曲線(xiàn)定義出發(fā)直接寫(xiě)出軌跡方程，或從曲線(xiàn)定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．