Question

已知動圓過定點(diǎn)M（0，1），且與直線L：y=-1相切．．
（1）求動圓圓心C的軌跡的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別
為α和β，當(dāng)α，β變化且α+β=θ為定值時，證明：直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）依據(jù)拋物線的定義即可得C的軌跡的方程；
（2）欲求證直線AB恒過定點(diǎn)，可先根據(jù)條件求出帶參數(shù)θ的直線AB的方程，再結(jié)合θ為定值即可證得．
解答：解：（1）由拋物線定義知C的軌跡是拋物線，且p=2，
∴動圓圓心C的軌跡方程：x²=4y（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)
則直線AB的方程為：，
化簡得：（9分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212018068725340/SYS201310232120180687253021_DA/3.png">，
由α+β=θ，得tanθ=
則，
所以（12分）
所以直線AB方程為
即
所以直線AB過定點(diǎn)．（15分）
點(diǎn)評：定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．