【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣a(x+1)(a≠0).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)>a2﹣a,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)=ex﹣a,

若a<0,則f′(x)>0,f(x)在R遞增,

若a>0,令f′(x)>0,解得;x>lna,令f′(x)<0,解得:x<lna,

∴f(x)在(﹣∞,lna)遞減,在(lna,+∞)遞增


(2)解:若a>0,只需f(lna)>a2﹣a,即﹣alna>a2﹣a,

即lna+a﹣1<0,令g(a)=lna+a﹣1,

a>0時(shí),g(a)遞增,又g(1)=0,則0<a<1;

若a<0,則f(ln(﹣a))=﹣aln(﹣a)﹣2a,

f(ln(﹣a))﹣(a2﹣a)=﹣aln(﹣a)﹣a2﹣a=﹣a[ln(﹣a)+a+1]

∵ln(﹣a)+a+1≤0,∴﹣a[ln(﹣a)+a+1]≤0,

則f[ln(﹣a)]≤a2﹣a,不合題意,

綜上,a的范圍是(0,1)


【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)和0的關(guān)系由此可得f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)需要分類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)求出函數(shù)的最值,即可求出a的范圍.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

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①命題:x∈(0,2),3x>x3的否定是:x∈(0,2),3x≤x3

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③若f(x)=x+,則x0∈(0,+∞),f(x0)=1;

④等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4=3,則S7=21;

⑤在△ABC中,若A>B,則sinA>sinB.

其中真命題是____.(只填寫序號(hào))

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