Question

（2012•房山區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f0(x)=1-x2，f1(x)=|f0(x)-

1

2

|，fn(x)=|fn-1(x)-

1

2n

|，（n≥1，n∈N），則方程f1(x)=

1

3

有

4

個(gè)實(shí)數(shù)根，方程fn(x)=(

1

3

)n有

2ⁿ⁺¹

個(gè)實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析：當(dāng)n=1時(shí)，f1(x)=

1

3

即|

1

2

-x²|=

1

3

，求得方程f1(x)=

1

3

有4個(gè)解．當(dāng)n=2時(shí)，方程即 f1(x)=

5

36

，或 f1(x)= 

13

36

．而由上可得 f2(x)=(

1

3

)2有2³個(gè)解．
當(dāng)n=3時(shí)，方程即 f2(x)=

35

216

或 f2(x)=

19

216

，而由上可得f3(x)=(

1

3

)3有2⁴個(gè)解．依此類推，方程fn(x)=(

1

3

)n 的解的個(gè)數(shù)．

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，f1(x)=

1

3

 即|

1

2

-x²|=

1

3

，解得 x²=

5

6

，或 x²=

1

6

．∴x=±

5 6

，或 x=±

6

6

，故方程f1(x)=

1

3

有4個(gè)解．
當(dāng)n=2時(shí)，方程f2(x)=(

1

3

)2 即|f1(x)-

1

22

|=

1

32

，即 f1(x)=

5

36

，或 f1(x)= 

13

36

．而由上可得f1(x)=

5

36

有4個(gè)解，f1(x)= 

13

36

 有4個(gè)解，故 f2(x)=(

1

3

)2有2³個(gè)解．
當(dāng)n=3時(shí)，方程f3(x)=(

1

3

)3，即|f2(x)-

1

23

|=

1

33

，即 f2(x)=

35

216

 或 f2(x)=

19

216

，而由上可得f2(x)=

35

216

 有2³個(gè)解，f2(x)=

19

216

也有2³個(gè)解，
故f3(x)=(

1

3

)3有2⁴個(gè)解．
…
依此類推，方程fn(x)=(

1

3

)n有 2ⁿ⁺¹個(gè)解．
故答案為 4，2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．