Question

18．已知在△ABC中，a=3，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，B=A+$\frac{π}{2}$．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式和誘導(dǎo)公式，求出A，B兩角的正弦值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理得到b的值；
（2）由（1）求出C的正弦值，代入三角形面積公式S=$\frac{1}{2}$absinC，可得答案．

解答 解：（1）∵在△ABC中，a=3，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，B=A+$\frac{π}{2}$．
∴A為銳角，B為鈍角，
∴sinA=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinB=sin（A+$\frac{π}{2}$）=cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由正弦定理得：b=$\frac{sinB•a}{sinA}$=3$\sqrt{2}$，
（2）由（1）得：cosB=cos（A+$\frac{π}{2}$）=-sinA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{1}{3}$，
故△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的面積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式和誘導(dǎo)公式，正弦定理，難度中檔．