Question

9．已知點(diǎn)P（1，1），圓C：x²+y²-4x=2，過點(diǎn)P的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（M不同于P），若|OP|=|OM|，則l的方程是3x+y-4=0．

Answer 1

分析 圓C的方程可化為（x-2）²+y²=6，所以圓心為C（2，0），半徑為$\sqrt{6}$，設(shè)M（x，y），運(yùn)用$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，化簡整理求出M的軌跡方程．由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，可得ON⊥PM，由直線垂直的條件：斜率之積為-1，再由點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程．

解答 解：圓C的方程可化為（x-2）²+y²=6，
所以圓心為C（2，0），半徑為$\sqrt{6}$，
設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{CM}$=（x-2，y），$\overrightarrow{MP}$=（1-x，1-y），
由題設(shè)知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
故（x-2）（1-x）+y（1-y）=0，
即（x-1.5）²+（y-0.5）²=0.5．
由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，
所以M的軌跡方程是（x-1.5）²+（y-0.5）²=0.5．
M的軌跡是以點(diǎn)N（1.5，0.5）為圓心，$\frac{\sqrt{2}}{2}$為半徑的圓．
由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，
又P在圓N上，從而ON⊥PM．
因?yàn)镺N的斜率為$\frac{1}{3}$，
所以l的斜率為-3，
故l的方程為y-1=-3（x-1），即3x+y-4=0．
故答案為：3x+y-4=0．

點(diǎn)評 本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．