Question

拋物線y²=4x的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成m和n兩部分，則=________．

Answer 1

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分析：當(dāng)直線斜率存在，可設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y可求得x₁+x₂，再根據(jù)拋物線的定義可求得m+n和mn，進(jìn)而可求得+，當(dāng)斜率不存在時(shí)，亦可求得+．
解答：∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），假設(shè)過(guò)F點(diǎn)的直線l的斜率存在，設(shè)為k，
則l的方程為：y=k（x-1），直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y得：
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)直線l與拋物線y²=4x的兩交點(diǎn)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁、x₂為方程k²x²-（2k²+4）x+k²=0的兩根，
∴x₁+x₂=2+，x₁•x₂=1．
又由拋物線定義可得：
m+n=x₁+x₂+p=2++2=4+，
m•n=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1=4+．
∴+==1．
②若k不存在，則AB方程為x=1，m=n=2，顯然符合+=1．
綜上所述：+=1．
故答案為：1．
點(diǎn)評(píng)：題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及拋物線與直線的關(guān)系，當(dāng)遇到拋物線焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，常根據(jù)焦點(diǎn)設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，把韋達(dá)定理和拋物線定義相結(jié)合解決問(wèn)題，屬于難題．