Question

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內為單調函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且，已知a₁=4，求證：a_n≥2n+2；
（3）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調性與導數(shù)的關系，f（x）在其定義域內為單調函數(shù)，在（0，+∞）內f′（x）恒大于0或恒小于0，轉化為恒成立問題去解決．
（2）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，f'（1）=0，求出a，確定f（x），f′（x）繼而得出an+1的表達式，最后用數(shù)學歸納法證明．
（3）在（2）的條件下，將各項適當放縮，能得出，再結合等比數(shù)列求和公式化簡不等式左邊，去與比較．
解答：解：（1）f（1）=a-b=0⇒a=b，
∴，
∴．
要使函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）內為單調函數(shù)，則在（0，+∞）內f′（x）恒大于0或恒小于0，
當在（0，+∞）內恒成立；
當a＞0時，要使恒成立，則，解得a＞1，
當a＜0時，要使恒成立，則，解得a＜-1，
所以a的取值范圍為a＞1或a＜-1或a=0．
（2）根據(jù)題意得：f'（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，∴，
于是，
用數(shù)學歸納法證明如下：
當n=1時，a₁=4≥2×1+2，不等式成立；
假設當n=k時，不等式a_k≥2k+2成立，即a_k-2k≥2也成立，
當n=k+1時，a_k+1=a_k（a_k-2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以當n=k+1，不等式也成立，
綜上得對所有n∈N^*時5，都有a_n≥2n+2．
（3）由（2）得a_n=a_n-1（a_n-1-2n+2）+1≥a_n-1[2（n-1）+2-2n+2]+1=2a_n-1+1，
于是a_n+1≥2（a_n-1+1）（n≥2），
所以a₂+1≥2（a₁+1），a₃+1≥2（a₂+1）…a_n+1≥2（a_n-1+1），
累乘得：，
所以．
點評：本題考查函數(shù)單調性與導數(shù)的關系，數(shù)學歸納法，等比數(shù)列求和，考查分析解決、轉化、放縮，計算等能力與方法．是難題．