Question

已知a＞0，求證：

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2．

Answer 1

分析：用分析法，證明不等式成立的充分條件成立，要證原命題，只要證

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

，即只要證（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²，進(jìn)而展開(kāi)化簡(jiǎn)，可得只要證明：（a-

1

a

）²≥0，易得證明，

解答：證明：要證

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2，
只要證

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

．
∵a＞0，
故只要證（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²，
即a²+

1

a2

+4

a2+ 1 a2

+4≥a²+2+

1

a2

+2

2

（a+

1

a

）+2，
從而只要證  2

a2+ 1 a2

≥

2

（a+

1

a

），
只要證4（a²+

1

a2

）≥2（a²+2+

1

a2

），
即a²+

1

a2

≥2，
即：（a-

1

a

）²≥0，
而上述不等式顯然成立，
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：用分析法證明不等式，即證明不等式成立的充分條件成立．