Question

在正項數列{a_n}中，令S_n=

n

∑i=1

1

ai + ai+1

．
（Ⅰ）若{a_n}是首項為25，公差為2的等差數列，求S₁₀₀；
（Ⅱ）若Sn=

nP

a1 + an+1

（P為正常數）對正整數n恒成立，求證{a_n}為等差數列；
（Ⅲ）給定正整數k，正實數M，對于滿足a₁²+a_k+1²≤M的所有等差數列{a_n}，求T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差數列的定義進行轉化是解決本題的關鍵，用好分母有理化的思想進行相消求和；
（Ⅱ）利用等差數列的定義或者等差中項的辦法進行等差數列的判定是解決本題的關鍵，尋找相鄰項的關系是解決該題的突破口；
（Ⅲ）將所求的和利用等差數列前n項和公式進行等價變形是解決本題的關鍵．

解答：（Ⅰ）解：由題意，利用等差數列的公差為2，得到

1

ai + ai+1

=

ai+1 - ai

2

，
所以S100=

a101 - a1

2

=

25+2×100 - 25

2

=5．
（Ⅱ）證：令n=1得到

p

a1 + a2

=

1

a1 + a2

，則p=1．
由于S_n=

n

∑i=1

1

ai + ai+1

=Sn=

nP

a1 + an+1

（1），
S_n+1=

n+1

∑i=1

1

ai + ai+1

=

(n+1)P

a1 + an+2

（2），
（2）-（1），將p=1代入整理得

(n+1)

a1 + an+2

-

n

a1 + an+1

=

1

an+1 + an+2

，
化簡得（n+1）a_n+1-na_n+2=a₁（3）
（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+3=a₁（4），
（4）-（3）得a_n+1+a_n+3=2a_n+2對任意的n≥1都成立．
在（3）中令n=1得到，a₁+a₃=2a₂，從而{a_n}為等差數列．
（Ⅲ）記t=a_k+1，公差為d，
則T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1=（k+1）t+

k(k+1)

2

d，則

T

k+1

=t+

kd

2

，M≥a₁²+a_k+1²=t²+（t-kd）²=

4

10

(t+

kd

2

)2+

1

10

(4t-3kd)2≥

4

10

(t+

kd

2

)2=

2

5

(

T

k+1

)2
則T≤

(k+1) 10M

2

，
當且僅當

4t=3kd M= 2 5 (t+ kd 2 )2

，即

ak+1=t=3 M 10 d= 4 k M 10

時等號成立．

點評：本題考查等差數列的基本知識，屬于競賽性質的題目，有一定的難度，理解各式之間的聯(lián)系，善于把握式子的等價變形是解決該問題的關鍵．用到分母有理化等處理根式問題的方法．