Question

已知在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，S_n表示前n項(xiàng)和且2

Sn

=a_n+1，求a_n．

Answer 1

分析：先根據(jù)題設(shè)條件求得a₁，進(jìn)而根據(jù)a_n=S_n-S_n-1代入且2

Sn

=a_n+1，整理可求得即

Sn

-

Sn-1

=1進(jìn)而判斷由定義得{

Sn

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得

Sn

=n．則a_n可得．

解答：解：由已知2

Sn

=a_n+1，得當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，代入已知有2

Sn

=S_n-S_n-1+1，
即S_n-1=（

Sn

-1）²．又a_n＞0，
故

Sn-1

=

Sn

-1或

Sn-1

=1-

Sn

（舍），
即

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2），
由定義得{

Sn

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴

Sn

=n．
故a_n=2n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用數(shù)列遞推式求和通項(xiàng)公式的問題．解題的關(guān)鍵是找到數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)或前n項(xiàng)和的相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系．