Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點M，求使四棱錐M-ABCD的體積小于

1

6

的概率．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：算出當(dāng)四棱錐M-ABCD的體積等于

1

6

時，點M到平面ABCD的距離等于

1

2

，可得當(dāng)M到平面ABCD的距離小于

1

2

時，四棱錐M-ABCD的體積小于

1

6

．
由此利用長方體、正方體的體積公式和幾何概型公式加以計算，可得所求概率

解答： 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
∴正方體的體積V=1×1×1=1．
當(dāng)四棱錐M-ABCD的體積小于

1

6

時，設(shè)它的高為h，
則

1

3

×12h＜

1

6

，解之得h＜

1

2

則點M在到平面ABCD的距離等于

1

2

的截面以下時，四棱錐M-ABCD的體積小于

1

6

，
求得使得四棱錐M-ABCD的體積小于

1

6

的長方體的體積V'=1×1×

1

2

=

1

2

∴四棱錐M-ABCD的體積小于

1

6

的概率P=

V′

V

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題給出正方體的棱長，求四棱錐的體積小于

1

6

的概率．著重考查了空間幾何體的體積計算和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．