Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，有下列命題：
①其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②f（x）的最小值是lg2；
③f（x）的遞增區(qū)間是（-1，0）；
④f（x）沒有最大值．
其中正確是

 

（將正確的命題序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義，我們可以出①真假，根據(jù)基本不等式我們可以求出真數(shù)的取值范圍，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的值域，判斷出②④的真假，根據(jù)真數(shù)對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則，我們可以判斷出③真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，f(-x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，即f（-x）=f（x），則函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故①正確；
∵

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，故f（x）的最小值是lg2，故②正確；
∵函數(shù)t=

x2+1

|x|

的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞），故f（x）的遞增區(qū)間是（-1，0），（1，+∞），故③錯(cuò)誤；
∵函數(shù)t=

x2+1

|x|

無(wú)最大值，故f（x）沒有最大值，故④正確；
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中熟練掌握對(duì)勾函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，基本不等式，其中熟練掌握復(fù)合函數(shù)奇偶性，單調(diào)性，值域的求解方法是解答本題的關(guān)鍵，解答中易忽略A是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是A的區(qū)別，而錯(cuò)解為①②③④