Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)與有相同極值點(diǎn).

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）求實(shí)數(shù)的值；

（3）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1），所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為；（2）由（1）得極值點(diǎn)為，故，解得；（3）由于，故，由于，故，后面根據(jù)的正負(fù)進(jìn)行分類討論，由此求出實(shí)數(shù)的取值范圍為.

試題解析：

（1），

由，得；由，得

∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

∴函數(shù)的最大值為.

（2）因?yàn)?/span>，所以，

由（1）知，是函數(shù)的極值點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)與有相同極值點(diǎn)，

∴是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，解得

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值，符合題意

（3）因?yàn)?/span>，，

∵，即，∴，

，，由（2）知，，

∴

∴在上，；當(dāng)時(shí)，

∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

∵，，，而，

∴

∴，，

①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)于，不等式恒成立

即，∵，

∴，由，得.

②當(dāng)時(shí)，即，對(duì)于，不等式恒成立

即，

∵，∴

綜上所述，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍為.