Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（-1）=0，且x≤f（x）≤（x²+1）對一切實數(shù)x恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）取x=1，由1≤f（1）≤（1+1），能夠求出f（1）的值．
（2）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（-1）=0，f（1）=1，知，所以a+c=b=，由f（x）≥x，對x∈R恒成立，知ax²+（b-1）x+c≥0對x∈R恒成立，由此能求出f（x）的表達式．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)f（x）滿足f（-1）=0，
且x≤f（x）≤（x²+1）對一切實數(shù)x恒成立，
∴取x=1，得1≤f（1）≤（1+1），
所以f（1）=1．
（2）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
因f（-1）=0，f（1）=1，
∴，
∴a+c=b=，
∵f（x）≥x對x∈R恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0對x∈R恒成立，
∴
∴
∵a＞0，ac≥＞0，
∴c＞0．
∵=a+c≥2≥2當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時，等式成立，
∴f（x）=．
點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)解析式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)恒成立條件的靈活運用．