Question

設(shè)拋物線(xiàn)C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)．若∠BFD=90°，△ABD的面積為4

2

，求p的值及圓F的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合

專(zhuān)題：綜合題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出圓F的半徑|FA|=

2

p，A到l的距離，利用△ABD的面積為4

2

，求出p的值，即可得到圓F的方程．

解答： 解：由已知可得△BFD為等腰直角三角形，|BD|=2p，
圓F的半徑|FA|=

2

p．…（3分）
由拋物線(xiàn)定義可知A到l的距離d=|FA|=

2

p．…（6分）
因?yàn)椤鰽BD的面積為4

2

，所以

1

2

|BD|•d=4

2

，即

1

2

•2p•

2

p=4

2

，
解得p=-2（舍去），p=2．…（10分）
所以F（0，1），圓F的方程為x²+（y-1）²=8．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查拋物線(xiàn)的定義，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．