設(shè)α∈(0，
π
2
)，向量
a
=（cosα，sinα），
b
=(-
1
2
，
3
2
)．
（1）證明：向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直；（2）當|2
a
+
b
|=|
a
-2
b
|時，求角α．
分析：（1）計算|
a
|，|
b
|，通過計算 (
a
+
b
)•(
a
-
b
)=|
a
|2-|
b
|2=0，證明向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直；
（2）將|2
a
+
b
|=|
a
-2
b
|兩邊平方，平方可得3（|
a
|2-|
b
|2）+8
a
•
b
=0，從而得到以sin(α-
π
6
)=0，然后求角α．
解答：解：（1）證明：由向量
a
=（cosα，sinα），
b
=(-
1
2
，
3
2
)，
得|
a
|=1，|
b
|=1，則 (
a
+
b
)•(
a
-
b
)=|
a
|2-|
b
|2=0，
所以向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直．…（6分）
（2）將|2
a
+
b
|=|
a
-2
b
|兩邊平方，化簡得3（|
a
|2-|
b
|2）+8
a
•
b
=0，
由|
a
|=|
b
|=1，得
a
•
b
=0，即 -
1
2
cosα+
3
2
sinα=0．
所以sin(α-
π
6
)=0，注意到α∈(0，
π
2
)，得α=
π
6
．（12分）
點評：本題考查數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，向量的模，二倍角的正弦，二倍角的余弦，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•杭州一模）設(shè)α∈(0， 
π
2
)．若tanα=
1
3
，則cosα=
3
10
10
3
10
10
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)0≤x≤2，求當x為何值時，函數(shù)y=4x-
12
-2x+1+5取最大值，并求出最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)0≤x≤2π，且|cosx-sinx|=sinx-cosx，則x的取值范圍為
[
π
4
，
5π
4
]
[
π
4
，
5π
4
]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•黃浦區(qū)二模）設(shè)α∈(0，
π
2
)，則
3+2sinαcosα
sinα+cosα
的最小值是
2
2
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx-
π
6
）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為
π
2
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)α∈(0，
π
2
)，f（
α
2
）=
11
5
，求cosα的值．

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