Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx-

π

6

）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)α∈(0，

π

2

)，f（

α

2

）=

11

5

，求cosα的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得A+1=3，可得A=2，函數(shù)的最小正周期T=π，可得ω=2，可得函數(shù)f（x）的解析式；（2）由（2）可得sin（α-

π

6

）=

3

5

，結(jié)合α的范圍可得cos（α-

π

6

）=

4

5

，而cosα=cos[（α-

π

6

）+

π

6

]=cos（α-

π

6

）cos

π

6

-sin（α-

π

6

）sin

π

6

，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的最大值為3，∴A+1=3，即A=2，
∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

，∴最小正周期T=π，∴ω=2，
故函數(shù)f（x）的解析式為y=2sin（2x-

π

6

）+1
（2）∵f（

α

2

）=2sin（α-

π

6

）+1=

11

5

，
∴sin（α-

π

6

）=

3

5

，
∵0＜α＜

π

2

，∴-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，
∴cos（α-

π

6

）=

4

5

，
∴cosα=cos[（α-

π

6

）+

π

6

]=cos（α-

π

6

）cos

π

6

-sin（α-

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)解析式的求解，涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬中檔題．